Question

已知圓，直線過定點.
（1）求圓心的坐標和圓的半徑；
（2）若與圓C相切，求的方程；
（3）若與圓C相交于P，Q兩點，求三角形面積的最大值，并求此時的直線方程.

Answer 1

（1）圓心，半徑（2）或（3）或

試題分析：（1）將圓的一般方程化為標準方程，得
∴圓心，半徑.                  2分
（2）①若直線的斜率不存在，則直線，符合題意．       3分 
②若直線斜率存在，設直線，即.
∵與圓相切.
∴圓心到已知直線的距離等于半徑2，即   4分
解得 .                        5分
∴綜上，所求直線方程為或．         6分
（3）直線與圓相交，斜率必定存在，設直線方程為.
則圓心到直線l的距離                7分
又∵面積  9分
∴當時，.                     10分
由，解得              11分
∴直線方程為或.            12分
點評：過圓外一點的圓的切線有兩條，當用點斜式求出的切線只有一條時，另一條切線斜率不存在；當直線與圓相交時，圓心到直線的距離，弦長的一半及圓的半徑構成直角三角形，此三角形在求解直線與圓相交時經常用到