Question

已知橢圓＝1上任一點P，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，設點M在PQ上，且＝2，點M的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程；
(2)過點D(0，－2)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點且平行于x軸的直線上一動點，且滿足＝＋ (O為原點)，且四邊形OANB為矩形，求直線l的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）y＝±2x－2.

(1)設點M(x，y)是曲線C上任意一點，
∵PM⊥x軸，且＝2，
所以點P的坐標為(x,3y)，
又點P在橢圓＋＝1上，所以＋＝1，
因此曲線C的方程是＋y²＝1.
(2)當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件，所以設直線l的方程為y＝kx－2，直線l與橢圓交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)兩點．
由得(1＋4k²)x²－16kx＋12＝0，
依題意Δ＝(16k)²－48(1＋4k²)>0，得k²>(*)，
此時x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
因為＝＋，所以四邊形OANB為平行四邊形．
又四邊形OANB是矩形，所以·＝0，
即x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋k²x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4＝(1＋k²)x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4＝0，
∴(1＋k²)·－2k·＋4＝0，
解之得k²＝4，∴k＝±2.滿足(*)式．
設N(x₀，y₀)，由＝＋，得
y₀＝y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－4＝－4＝－，
從而點N在直線y＝－上，滿足題設，
故直線l的方程為y＝±2x－2.