Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是邊長為 的正方形，AA1=3，點F在棱B1B上運動．

（1）若三棱錐B1﹣A1D1F的體積為 時，求異面直線AD與D1F所成的角
（2）求異面直線AC與D1F所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是邊長為 的正方形，

∴ = =1，

∵AA1=3，點F在棱B1B上運動，三棱錐B1﹣A1D1F的體積為 ，

∴ ×B1F= = ，

∴BF=3﹣2=1，

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，

DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

由A（ ,0,0），D（0，0，0），

D1（0，0，3），F（ , ,1），

=（﹣ ,0,0），

=（ , ,-2），

設異面直線AD與D1F所成的角為θ，

則cosθ= = = ，∴θ=60°．

∴異面直線AD與D1F所成的角為60°

（2）解：C（0， ，0）， =（﹣ , ，0）， =（ , ,-2），

∵ =﹣2+2+0=0，

∴異面直線AC與D1F所成的角為90°．

【解析】（1）求出BF=1，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD與D1F所成的角．（2）求出 =（﹣ , ，0）， =（ , ,-2），利用向量法能求出異面直線AC與D1F所成的角的大小．
【考點精析】利用棱柱的結構特征和異面直線及其所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．