Question

【題目】若函數(shù)f（x）定義在R上的奇函數(shù)，且在（﹣∞，0）上是增函數(shù)，又f（2）=0，則不等式xf（x+1）＜0的解集為 ．

Answer 1

【答案】（0，1）∪（﹣3，﹣1）
【解析】解：∵函數(shù)f（x）定義在R上的奇函數(shù)，且在（﹣∞，0）上是增函數(shù)，又f（2）=0， ∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，
∴當(dāng)x＞2或﹣2＜x＜0時，f（x）＞0，當(dāng)x＜﹣2或0＜x＜2時，f（x）＜0，（如圖）
則不等式xf（x+1）＜0等價為
或 ，
即 或 ，
則 或 ，
解得0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1，
故不等式的解集為（0，1）∪（﹣3，﹣1），
所以答案是：（0，1）∪（﹣3，﹣1）

【考點精析】掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合是解答本題的根本，需要知道奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．