Question

已知f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）．現有下列命題：
①f（-x）=-f（x）；
②f（

2x

1+x2

）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正確命題的序號是（　　）

• A、①②③
• B、②③
• C、①③
• D、①②

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：根據已知中函數的解析式，結合對數的運算性質，分別判斷三個結論的真假，最后綜合判斷結果，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1），
∴f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），即①正確；
f（

2x

1+x2

）=ln（1+

2x

1+x2

）-ln（1-

2x

1+x2

）=ln（

x2+2x+1

1+x2

）-ln（

x2-2x+1

1+x2

）=ln（

x2+2x+1

x2-2x+1

）=ln[（

1+x

1-x

）²]=2ln（

1+x

1-x

）=2[ln（1+x）-ln（1-x）]=2f（x），故②正確；
當x∈[0，1）時，|f（x）|≥2|x|?f（x）-2x≥0，令g（x）=f（x）-2x=ln（1+x）-ln（1-x）-2x（x∈[0，1））
∵g′（x）=

1

1+x

+

1

1-x

-2=

2x2

1-x2

≥0，∴g（x）在[0，1）單調遞增，g（x）=f（x）-2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）與y=2x為奇函數，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正確；
故正確的命題有①②③，
故選：A

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了對數的運算性質，代入法求函數的解析式等知識點，難度中檔．