Question

【題目】已知數列{an}的前三項與數列{bn}的前三項相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n對任意n∈N*都成立，數列{bn＋1－bn}是等差數列．

（1）求數列{an}與{bn}的通項公式；

（2）是否存在k∈N*，使得（bk－ak）∈（0,1）？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）an＝24－n（n∈N*）， bn＝n2－7n＋14（n∈N*）．（2）不存在k∈N*，使得（bk－ak）∈（0,1）

【解析】

試題分析：（1）利用a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n推出n-1時的表達式，然后作差求出數列{an}的通項公式，利用數列{bn＋1－bn}是等差數列利用累加法求出{bn}的通項公式；（2）化簡通過k≥4時，單調遞增，且f（4）=1，所以k≥4時，f（k）≥1，結合f（1）=f（2）=f（3）=0，說明不存在k∈N*，使得（bk－ak）∈（0,1）．

試題解析：（1）已知得a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an

＝8n（n∈N*），①

當n≥2時，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8（n－1）．②

由①－②，得2n－1an＝8．∴an＝24－n．

在①中，令n＝1，得a1＝8＝24－1，

∴an＝24－n（n∈N*）．

由題意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，

∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，

∴數列{bn＋1－bn}的公差為－2－（－4）＝2．

∴bn＋1－bn＝－4＋（n－1）×2＝2n－6．

∴bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1）

＝8＋（－4）＋（－2）＋…＋（2n－8）

＝n2－7n＋14（n∈N*）．

（2）∵bk－ak＝k2－7k＋14－24－k，

設f（k）＝k2－7k＋14－24－k，

當k≥4時，f（k）＝（k－）2＋－24－k，單調遞增，

且f（4）＝1．

∴k≥4時，f（k）＝k2－7k＋4－24－k≥1．

又f（1）＝f（2）＝f（3）＝0， ∴不存在k∈N*，使得（bk－ak）∈（0,1）．