Question

【題目】已知函數(shù)，（，，為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意的都有成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，記，利用導(dǎo)數(shù)研究在函數(shù)值的情況，將在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)問題，分類討論即可得到；

（2）當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意的都有，即，即，記，，利用導(dǎo)數(shù)分別研究的最值，即可得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，記，

則，

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，又，，，

當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上無極值點(diǎn)；

當(dāng)即時(shí)，有兩不同解，

函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)即時(shí)，有一解，

函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上無極值點(diǎn).

（2）當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意的都有，

即，即

記，，

由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，

又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以只需要，即正實(shí)數(shù)的取值范圍是.