Question

【題目】在直角坐標系中，曲線C的參數方程為為參數），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線D的極坐標方程為.

（1）寫出曲線C的極坐標方程以及曲線D的直角坐標方程；

（2）若過點（極坐標）且傾斜角為的直線l與曲線C交于M，N兩點，弦MN的中點為P，求的值．

Answer 1

【答案】（1）曲線C的極坐標方程為；曲線D的直角坐標方程為；（2）.

【解析】

（1）由曲線C的參數方程，利用三角函數的基本關系式，求得曲線C的普通方程，結合極坐標方程與直角坐標方程的互化公式，即可求得曲線C的極坐標方程和曲線D的直角坐標方程；

（2）根據題意，求得直線l的參數方程為為參數），代入曲線C的方程，結合一元二次方程根與系數的關系得，即可求解.

（1）由題意，曲線C的參數方程為為參數），即為參數）

平方相加，可得曲線C的普通方程為，

將代入曲線C的普通方程

可得曲線C的極坐標方程為，

又由曲線D的極坐標方程為，

所以，

又由

所以，

所以曲線C的極坐標方程為，

曲線D的直角坐標方程為.

（2）由點，則，即點A（2，2）．

因為直線l過點A（2，2）且傾斜角為，

所以直線l的參數方程為為參數），代入，

可得，

設M，N對應的參數分別為，

由一元二次方程根與系數的關系得，

所以.