Question

【題目】如圖，在四面體中，.

（1）求證:平面平面；

（2）若，二面角為，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)連接，得，可得，

可證，可得，進(jìn)而平面，即可證明結(jié)論；

（2）設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，連，可得，，可得（或補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)與所成的角，，可得，為二面角的平面角，即，設(shè)，求解，即可得出結(jié)論.

（1）證明:取中點(diǎn)連接，

由則

，則，

故，，

平面，又平面，

故平面平面

（2）解法一:設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，

則，

（或補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)與所成的角.

設(shè)為邊的中點(diǎn)，則，

由知.

又由（1）有平面，

平面，

所以為二面角的平面角，，

設(shè)則

在中，

從而

在中，，

又，

從而在中，因，

，

因此，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.

解法二:過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)

由（1）易知兩兩垂直，

以為原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為軸，

軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)，由，

易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

則

顯然向量是平面的法向量

已知二面角為，

設(shè)，則

設(shè)平面的法向量為，

則

令，則

由

由上式整理得，

解之得(舍)或

，

因此，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.