Question

已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點為F(－1，0)，
(1)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點，若，求直線L的方程；
(2)橢圓C上是否存在三點P，E，G，使得S_△OPE＝S_△OPG＝S_△OEG＝？

Answer 1

(1) 和； (2) 橢圓上不存在滿足條件的三點

試題分析：(1) 由已知 可解得 ，即橢圓方程為 。可得 。根據點斜式可得直線即直線方程為，將直線方程和橢圓方程聯立消去整理為關于的一元二次方程，可得根與系數的關系。再根據可求得的值，即可得所求直線方程。 (2)根據兩點確定一條直線可設兩點確定的直線為 l，注意討論直線的斜率存在與否，用弦長公式可得的長，用點到線的距離公式可得點到線的距離，從而可得三角形面積。同理可得另兩個三角形面積，聯立方程可得三點橫縱坐標的平方，根據三點坐標判斷能否與點構成三角形，若能說明存在滿足要求的三點否則說明不存在。
試題解析：(1)由題意：橢圓的方程為.
設點，由得直線的方程為．
由方程組消去，整理得，
可得，.
因為，
所以


由已知得，解得.
故所求直線的方程為：和
(2) 假設存在滿足.
不妨設兩點確定的直線為 l，
(ⅰ)當直線l的斜率不存在時， 兩點關于軸對稱，
所以，
因為在橢圓上，
所以.①
又因為，
所以|，②
由①、②得，
此時，.
(ⅱ)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，
由題意知，將其代入得
，
其中，
即，(★)
又，
所以.
因為點到直線l的距離為，
所以.
又，
整理得 ，且符合(★)式．
此時，
.
綜上所述，，結論成立．
同理可得：，
解得；.
因此只能從中選取，只能從中選取．
因此只能在這四點中選取三個不同點，
而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，
與矛盾，
所以橢圓上不存在滿足條件的三點