Question

如圖，已知平面內一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關于直線對稱，請說明理由.

Answer 1

（1）參考解析；（2）①；②參考解析

試題分析：（1）由于c的大小沒確定，所以點A的軌跡，根據c的大小有三種情況.
（2）①由可得點A的軌跡方程為橢圓，求的面積的最大值即求出點A到直線距離的最大值.即點A在橢圓的上頂點上即可.本小題通過建立三角函數同樣可以求得三角形面積最大時的情況.
②當時，顯然存在除、外的兩點、關于直線對稱.當直線AC不垂直于時，不存在除、外的兩點、關于直線對稱.通過假設存在，利用點差法即可得到，.由于H,M分別是兩條弦的中點，并且都被直線m平分.所以.由.所以不存在這樣的直線.
試題解析：（1）因為，軌跡是以、為焦點的橢圓，3分
（2）以線段的中點為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，
可得軌跡的方程為7分
①解法1：設表示點到線段的距離
，8分
要使的面積有最大值，只要有最大值
當點與橢圓的上頂點重合時，
的最大值為10分
解法2：在橢圓中，設，記
點在橢圓上，由橢圓的定義得：

在中，由余弦定理得：
配方，得：
從而

得8分
根據橢圓的對稱性，當最大時，最大
當點與橢圓的上頂點重合時，
最大值為10分
②結論：當時，顯然存在除、外的兩點、關于直線對稱11分
下證當與不垂直時，不存在除、外的兩點、關于直線對稱12分
證法1：假設存在這樣的兩個不同的點

設線段的中點為直線
由于在上，故①
又在橢圓上，所以有
兩式相減，得
將該式寫為，
并將直線的斜率和線段的中點，表示代入該表達式中，
得②14分
①、②得，由（1）代入
得

即的中點為點，而這是不可能的.
此時不存在滿足題設條件的點和.16分
證法2：假設存在這樣的兩個不同的點
，14分
則，故直線經過原點.15分
直線的斜率為，則假設不成立，
故此時橢圓上不存在兩點（除了點、點外）關于直線對稱16分