Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，面面，為的中點.

（1）求證：；

（2）在線段上是否存在一點，使得面？若存在，請證明你的結論；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，證明見解析

【解析】

（1）可作中點，連接，通過底面梯形的性質可證四邊形為正方形，求出邊，，通過勾股定理可證，再結合面面，面面，可證面，得到，即可得證；

（2）可將問題轉化，在底面找一點使得，即可求證；

（1）取中點，連接，

∵且，

∴且，

所以四邊形為平行四邊形，

又∵，，

所以四邊形為正方形.

在中，因為，所以，

在中，因為，所以，

因為，所以，，

因為面，面面，面面，

所以面，

因為面，

所以.

（2）線段上存在一點，滿足，

即為中點時，面，

證明如下：連結，∵為的中點，為中點，，

又∵，所以，

∵面，面，∴面.