Question

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N* ， 且a2 ， a5 ， a14構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）證明：a2= ；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)， ，

∵

（2）解：當(dāng)n≥2時(shí)，滿足 ，且 ，

∴ ，

∴ ，

∵an＞0，∴an+1=an+2，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是公差d=2的等差數(shù)列．

∵a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，∴ ， ，解得a2=3，

由（1）可知， ，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，

∴{an}是首項(xiàng)a1=1，公差d=2的等差數(shù)列．

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n﹣1

（3）解：由（2）可得式 = ．

∴

【解析】（1）對(duì)于 ，令n=1即可證明；（2）利用 ，且 ，（n≥2），兩式相減即可求出通項(xiàng)公式．（3）由（2）可得 = ．利用“裂項(xiàng)求和”即可證明．