Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+2x+c的對稱軸為x=1，g（x）=x+ （x＞0）．
（1）求函數g（x）的最小值及取得最小值時x的值；
（2）試確定c的取值范圍，使g（x）﹣f（x）=0至少有一個實根；
（3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在實數t，對任意x∈[1，m]，使F（x+t）≤3x恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x＞0，∴ ，

∴ ，當且僅當 ，即x=1時“=”成立，即g（x）min=2，此時x=1

（2）解：f（x）的對稱軸為x=1，

∴a=﹣1，

∴f（x）=﹣x2+2x+c，g（x）﹣f（x）=0至少有一個實根，

∴g（x）=f（x）至少有一個實根，

即g（x）與f（x）的圖象在（0，+∞）上至少有一個交點，f（x）=﹣（x﹣1）2+1+c，

∴f（x）max=1+c，g（x）min=2，

∴1+c≥2，∴c≥1，

∴c的取值范圍為[1，+∞）

（3）解：F（x）=x2﹣2x﹣c+4x+c=x2+2x，

∴F（x+t）=（x+t）2+2（x+t），

由已知存在實數t，對任意x∈[1，m]，使（x+t）2+2（x+t）≤3x恒成立．

∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0．

令h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，

∴ ，即 ，

轉化為存在t∈[﹣4，0]，使t2+（2m+2）t+m2﹣m≤0成立．

令G（t）=t2+（2m+2）t+m2﹣m，

∴G（t）的對稱軸為t=﹣（m+1），

∵m＞1，

∴﹣（m+1）＜﹣2．

①當﹣4＜﹣（m+1）＜﹣2，即1＜m＜3時，

，

∴ ，

∴1＜m＜3．

②當﹣（m+1）≤﹣4，即m≥3時，

，

∴ ，

∴ ，

∴3≤m≤8．

綜上，實數m的取值范圍為（1，8]

【解析】（1）根據基本不等式即可求出函數的最值；（2）根據對稱軸求出a=﹣1，分別求出f（x）max=1+c，g（x）min=2，即1+c≥2，解得即；（3）把f（x+t）≤3x轉化為（x+t）2+2（x+t）≤3x，即h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈[1，m]恒小于0問題，考查h（x）的圖象與性質，求出m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．