Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（Ⅰ）證明：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：如圖所示，取AC的中點O，連接BO，OD．
∵△ABC是等邊三角形，∴OB⊥AC．
△ABD與△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．
∵△ACD是直角三角形，
∴AC是斜邊，∴∠ADC=90°．
∴DO= AC．
∴DO2+BO2=AB2=BD2 ．
∴∠BOD=90°．
∴OB⊥OD．
又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．
又OB平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：設點D，B到平面ACE的距離分別為hD ， hE ． 則 = ．

∵平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，
∴ = = =1．
∴點E是BD的中點．
建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設AB=2．
則O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E ．
=（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）．
設平面ADE的法向量為 =（x，y，z），則 ，即 ，取 = ．
同理可得：平面ACE的法向量為 =（0，1， ）．
∴cos = = =﹣ ．
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）如圖所示，取AC的中點O，連接BO，OD．△ABC是等邊三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜邊，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2 ． 可得OB⊥OD．利用線面面面垂直的判定與性質定理即可證明．
（Ⅱ）設點D，B到平面ACE的距離分別為hD ， hE ． 則 = ．根據平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，可得 = = =1，即點E是BD的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．設AB=2．利用法向量的夾角公式即可得出．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．