Question

【題目】已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.

（1）求的方程；

（2）設(shè)的短軸端點(diǎn)分別為，，直線：交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)所給四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可知,關(guān)于軸對(duì)稱,當(dāng)恰有三點(diǎn)在橢圓上時(shí),橢圓必經(jīng)過,.將坐標(biāo)代入橢圓方程可得等量關(guān)系.由點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系,可判斷出不在橢圓上,將代入橢圓方程,即可求得,得橢圓方程.

（2）設(shè)出直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).利用兩點(diǎn)間距離公式可表示出.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)可知判別式,求得的取值范圍.結(jié)合韋達(dá)定理表示出.根據(jù)坐標(biāo)表示出,再由等量關(guān)系,即可消去求得的值.

（1）由于,關(guān)于軸對(duì)稱,當(dāng)恰有三點(diǎn)在橢圓上時(shí),橢圓必經(jīng)過,.

所以.

又將代入橢圓方程可知,所以不經(jīng)過點(diǎn),

則點(diǎn)在橢圓上,所以代入可得,即

因此,

故的方程為.

（2）直線:.則,設(shè)與的兩個(gè)交點(diǎn)分別為,,,

則,

由兩點(diǎn)間距離公式可知,

.

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)可得.

當(dāng)時(shí),即時(shí),

.

所以.

由（1）得,所以.

等式可化為.

因?yàn)?/span>,所以.