Question

【題目】已知二次函數和.

（1）為偶函數，試判斷的奇偶性；

（2）若方程有兩個不相等的實根，當時判斷在上的單調性；

（3）當時，問是否存在x的值，使滿足且的任意實數a，不等式恒成立？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）為奇函數（2）答案不唯一，具體見解析（3）存在，詳見解析

【解析】

（1）根據偶函數的定義可知，可求出的值，求出的定義域看是否對稱，然后根據奇偶性定義進行判定；

（2）有兩個不相等的實根可轉化成，可判定對稱軸的范圍，從而確定函數在上的單調性；

（3）不等式恒成立可轉化成對于且時恒成立，建立不等式組，解之即可求出所求.

解：（1）若為偶函數，有，則，定義域為，且，所以為奇函數.

（2）由，整理得：，且，即或，又的對稱軸為

所以當時，在上為增函數；當時，在上為減函數.

（3）由，即，有

由已知它對于且時上面不等式恒成立，則有

解得：.