Question

【題目】試求出所有的正整數組，使得.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由題意設.①

下面分兩種情況討論.

（1）若，則.因此，.顯然，.

若，則，故只能有；若，則是正整數，

故只可能有.

（2）若，由對稱性不妨假設，即.考慮二次方程，②

其中，是方程②的一個根.

設方程的另一根為.由韋達定理有是，.所以，為正整數且.

下面證明：當時，.

事實上，

.

又，，則 .所以，，成立.

由于和是方程②的兩個根，因此，對某個，

如果一組是方程①的解，

那么，也是方程①的解.

而，可因此，對方程①的任意一個解，

用來替換原來的，式①仍然成立.只要這里的，

這樣的替換便可以繼續下去.而每經過一次這樣的替換，的值將會減少.

因此，經過有限步之后，必有.

下面討論時，方程①的解.

（i）若，則方程①即為.而，

故僅有解.此時，.

（ii）若,則有.③

因為是正整數，所以， 是正整數.

故.如果,則.解得.

于是，,,即,此時，.

如果,代入式③可得,即與矛盾.因此，只能取.

當時，方程①的任意一個解經過有限次替換以后必將變為.

反過來，對作上述替換的逆變換，

將生成方程的全部解.這些解可表示為，

在這里，數列滿足，以及遞推關系.

同理，當時，方程的全部解為，

在這里，數列滿足,以及遞推關系.

當時，由對稱性可知，方程的全部解為以及.

因此，全部解為.其中，數列滿足，；數列滿足，.