Question

已知橢圓過點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）將兩點(diǎn)代入橢圓方程可解得的值，從而可得橢圓的方程。（2）分析可知直線的斜率存在，且。設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)橛袃蓚�(gè)交點(diǎn)故判別式應(yīng)大于0.且可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可得的中點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7a/a/ahajs1.png" style="vertical-align:middle;" />所以點(diǎn)和中點(diǎn)的連線垂直直線，即兩直線斜率之積等于。從而可求得的值。
解：（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)和點(diǎn)．
所以，由，得．
所以橢圓的方程為．
（2）顯然直線的斜率存在，且．設(shè)直線的方程為．
由消去并整理得，
由，．
設(shè)，，中點(diǎn)為，
得，．
由，知，
所以，即．
化簡(jiǎn)得，滿足．
所以．
因此直線的方程為．
考點(diǎn)：1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系。