已知橢圓
的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在
軸上，有一個頂點為
，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
作直線
與橢圓交于
兩點，線段
的中點為
,求直線
的斜率
的取值范圍.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）首先根據橢圓有一個頂點為，可知長軸
，又，從而得：
，可求出
，即可求出橢圓方程.
（2）分直線的斜率存在與不存在分類討論，（1）當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，
；（2）當直線的斜率存在且不為零時，設直線
方程為
，將直線方程與橢圓方程聯立，消去
，并整理得
，利用
和點差法即可求出結果.
解：（1）因為橢圓有一個頂點為，故長軸，又，從而得：，，∴橢圓
的方程；(3分)
（2）依題意，直線過點且斜率不為零.
（1）當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，； (4分)
（2）當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為, (5分)
由方程組
消去，并整理得，
設
,
, 又有，則
∴
(7分)
∴
， ∴
，
， (9分) 
， 
.
且
． (11分)
綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：． (12分)
考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
上有一點
到焦點
的距離為
.
（1）求
及
的值.
（2）如圖，設直線
與拋物線交于兩點
，且
,過弦
的中點
作垂直于
軸的直線與拋物線交于點
，連接
.試判斷
的面積是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由. 
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓E：
的焦點在x軸上．
(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
(2)設F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當a變化時，點P在某定直線上．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，離心率為
的橢圓
上的點到其左焦點的距離的最大值為3，過橢圓
內一點
的兩條直線分別與橢圓交于點
、
和
、
，且滿足
，其中
為常數，過點作
的平行線交橢圓于
、
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若點
，求直線
的方程，并證明點平分線段.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
左、右焦點分別為F1、F2，點P（2，
），點F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線
與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的斜率互為相反數，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y－4)2=1的圓心為點M
(1)求點M到拋物線C1的準線的距離；
(2)已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
拋物線
，直線
過拋物線
的焦點
，交
軸于點
.
（1）求證：
；
（2）過作拋物線的切線，切點為
（異于原點），
（i）
是否恒成等差數列，請說明理由；
（ii）
重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.
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過點
和點
．
的方程；
的直線
與橢圓
兩點，且
，求直線
：
的一個焦點為
，離心率為
．設
是橢圓
的直線
交橢圓于
，
兩點.
的最大值.