Question

數(shù)列{a_n}滿足，前n項(xiàng)和
（1）寫出a₂，a₃，a₄；（2）猜出a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

解：（1）令n=2，∵，∴，即a₁+a₂=3a₂．∴．
令n=3，得，即a₁+a₂+a₃=6a₃，∴．
令n=4，得，a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄，∴．
（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．
①當(dāng)n=1時，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即，
則當(dāng)n=k+1時，
=，
即．
∴
∴．
∴當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立．
由①②可知，對一切n∈N₊都有成立．
分析：（1）根據(jù)，利用遞推公式，分別令n=2，3，4．求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)（1）求出的數(shù)列的前四項(xiàng)，從而總結(jié)出規(guī)律猜出a_n，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即得．
點(diǎn)評：此題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般三個步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證．