Question

（2012•懷化二模）如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，∠PAD=

π

2

，且PA=AD，E，F分別是線段PA，CD的中點．
（1）求證：PC⊥BD
（2）求直線EF與面PAD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直，證明線線垂直，即證BD⊥面PAC，可得PC⊥BD；
（2）根據面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，所以CD⊥面PAD，可得EF在面PAD上的射影是ED，所以∠FED為所求，在直角三角形FDE中，即可求直線EF與面PAD所成角的余弦值．

解答：（1）證明：因為面PAD⊥面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥面ABCD，因為BD?面ABCD，所以PA⊥BD-----------------（3分）
因為底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC
又因PA和AC是面PAC上兩相交直線，所以BD⊥面PAC，所以PC⊥BD-------（6分）
（2）解：因為面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，所以CD⊥面PAD，
故EF在面PAD上的射影是ED，所以∠FED為所求----------（8分）
設PA=AD=b，在直角三角形FDE中，DF=

1

2

CD=

1

2

b，DE=

EA2+AD2

=

1 4 b2+b2

=

5

2

b
所以EF=

DE2+DF2

=

5 4 b2+ 1 4 b2

=

6

2

b-------------（10分）
所以 cos∠FED=

DE

EF

=

5 2 b

6 2 b

=

30

6

所以直線EF與面PAD所成角的余弦值為

30

6

---------------------（12分）

點評：本題考查線面垂直、線線垂直，考查線面角，解題的關鍵是正確作出線面角，掌握線線垂直的判定方法．