Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．

（1）求曲線C的普通方程；

（2）直線l的參數方程為，（t為參數），直線l與x軸交于點F，與曲線C的交點為A，B，當取最小值時，求直線l的直角坐標方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由二倍角公式的逆運用化簡已知方程，再由極坐標方程與普通方程間的關系化為普通方程；

（2）由直線l的參數方程可知其與x軸交于點，即為拋物線C的焦點,從而由參數方程中t的幾何意義可知，為直線l的參數方程與拋物線C的普通方程聯立之后的方程的兩根，即可表示，進而由三角函數求最值，得其答案.

（1）由題意得，

得，得，

，，

，即曲線C的普通方程為．

（2）由題意可知，直線l與x軸交于點，即為拋物線C的焦點，

令，，

將直線l的參數方程，代入C的普通方程中，

整理得，

由題意得，根據根與系數的關系得，

，，

（當且僅當時，等號成立），

當取得最小值時，直線l的直角坐標方程為．