Question

【題目】如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC2，E為AD的中點，O是AC與BE的交點，將△ABE沿BE翻折到圖2中△A1BE的位置得到四棱錐A1﹣BCDE．

（1）求證：CD⊥A1C；

（2）若A1C，BE＝2，求點C到平面A1ED的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）證明BE⊥AC，BE⊥平面OA1C ，得到CD⊥平面OA1C，得到答案.

（2）建立分別以OB，OC，OA1所在的方向為x，y，z軸的空間直角坐標系，計算平面A1ED的法向量（1，，），計算得到答案.

（1）證明：如圖1，連接CE，∵AE∥BC，AE＝BC，∴四邊形ABCE是平行四邊形．

∴AB∥CE，AB＝CE．∴AB＝BC＝AE＝CE＝2，∴ABCE是菱形．∴BE⊥AC．

∴在圖2中，BE⊥OA1，BE⊥OC．∴BE⊥平面OA1C．

由題意，可知AE＝ED＝2，故ED＝BC．

又∵ED∥BC，ED＝BC．∴四邊形EBCD是平行四邊形．∴BE∥CD，

∴CD⊥平面OA1C．∴CD⊥A1C．

（2）在Rt△OAE中，AE＝2，OE，則OA＝1，故OC＝OA＝1．

在△OA1C中，OC＝OA1＝1．A1C，則OC2+OA12＝A1C2，

∴△OA1C是等腰直角三角形．

∴OA1⊥OC，∵BE⊥平面OA1C．∴OA1⊥BE，∴OA1⊥平面BCDE．

如圖2，建立分別以OB，OC，OA1所在的方向為x，y，z軸的空間直角坐標系，

則A1（0，0，1），E（，0，0），D（﹣2，1，0），C（0，1，0）．

設平面A1ED的法向量（1，x，y），

∵（，0，﹣1），（﹣2，1，﹣1），

∴，即，解得．

∴（1，，）．

∵（0，1，﹣1）．

∴點C到平面A1ED的距離d．