Question

設函數
（1）已知在區間上單調遞減，求的取值范圍；
（2）存在實數，使得當時，恒成立，求的最大值及此時的值．

Answer 1

(1) (2) 的最大值為3，此時

解析試題分析：
(1)該函數顯然是二次函數,開口向上,所以在對稱軸左側單調遞減,右側單調遞增.根據題意可知區間在對稱軸的左側,所以根據對稱軸即可求出的取值范圍;
(2)由于該二次函數的對稱軸未知,所以當對稱軸與區間處于不同位置時,函數的單調性會發生改變,從而影響到函數的最值,所以得討論區間與對稱軸的位置關系,通過討論位置關系確定單調性和最值,建立關于的關系式,從而得到最終的結論.
試題解析：
（1）該函數顯然是二次函數,開口向上,所以在對稱軸左側單調遞減,
該函數的對稱軸為,所以區間在對稱軸的左側,
即所以
（2）顯然，對稱軸
討論對稱軸與區間的位置關系：
（1）當對稱軸在區間左側時,有，即,此時函數在上單調遞增，
所以要使恒成立，只需滿足
由及得與矛盾,舍.
（2）當對稱軸在區間右側時,有,此時函數在上單調遞減，
要使恒成立，只需滿足
由得，
所以與矛盾,舍.
（3）當對稱軸在區間內時,有，此時函數在上遞減，在上遞增，
要使恒成立，只需滿足
由前二式得，由后二式得  
又     得 即，故 
所以。當時，時滿足題意.
綜上的最大值為3，此時
考點：二次函數的對稱軸與區間的位置關系的討論,確定單調性和最值.