Question

（本小題滿分14分）如圖，棱錐的底面是矩形，
面，為的中點.
（1）求證：面；                                                                        
（2）求二面角的余弦值；
（3）設為的中點，在棱上是否存在點，
使面？如果存在，請指出點的位置；
如果不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)略
(2)
(3)在棱上存在點，使平面，且為棱的中點

證明：(1) 在中，，
為正方形，因此.               ……………2分
∵面，面，
．                                           ……………3分
又  
∴面．                                       ……………4分
解： (2) 建立如圖所示的直角坐標系，則、、．………5分
在中，，，
∴，，，                                                               
∴，．……6分
設面的法向量，
則，
可以得到面的一個法向量．                 …………7分
又平面，
為面的一個法向量，                    …………8分
則，
二面角的余弦值為.                      …………10分
(3)為的中點，
的坐標為.
設棱上存在點使平面，            
則,                                       …………11分
由得面的一個法向量,
，                                   …………13分
在棱上存在點，使平面，且為棱的中點.……14分