Question

．（本小題12 分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD為正方形，E、F分別為AB、PC的中點.
①求證：EF⊥平面PCD；
②求平面PCB與平面PCD的夾角的余弦值.

Answer 1

(1)略
(2)

解：①證明：取AD中點為O，連接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD
故以OA為軸
OP為軸建立空間直角坐標系（如圖所示）……1分
設，
則，，，，
故可求得：，                     ……3分
∴，，
∵，
∴，  ∴平面
∴平面                 ……6分
②設平面的一個法向量為，則
 ，取    ……8分
為平面的一個法向量，                                   ……9分
故               ……11分
故平面與平面的夾角余弦值為                    ……12分