Question

6．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁、F₂，漸近線方程是：y=±$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$x，點A（0，b），且△AF₁F₂的面積為6．
（Ⅰ）求雙曲線C的標準方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點P，Q，若|AP|=|AQ|，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得雙曲線的漸近線方程，可得a，b的方程，由三角形的面積公式可得b，c的關系，結合a，b，c的關系，解方程可得a，b，即可得到所求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點為D（x₀，y₀），聯立直線方程和雙曲線的方程，消去y，可得x的方程，運用判別式大于0，韋達定理，中點坐標公式和直線的斜率公式，結合兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得到所求m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
由題意可得$\frac{b}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，①
${S_{△A{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}•2c•b=6$，②
又a²+b²=c²，③
由①②③聯立求得：a²=5，b²=4．
所以雙曲線C的標準方程是：$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$．          
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
線段PQ的中點為D（x₀，y₀），
y=kx+m與$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$聯立消y，整理得（4-5k²）x²-10kmx-5m²-20=0，${x_1}+{x_2}=\frac{10km}{{4-5{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=-\frac{{5{m^2}+20}}{{4-5{k^2}}}$，
由4-5k²≠0及△＞0，得$\left\{\begin{array}{l}4-5{k^2}≠0\\{m^2}-5{k^2}+4＞0\end{array}\right.$，④
${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{5km}{{4-5{k^2}}}，{y_0}=k{x_0}+m=\frac{4m}{{4-5{k^2}}}$，
由|AP|=|AQ|知，AD⊥PQ，
于是${k_{AD}}=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}=\frac{{\frac{4m}{{4-5{k^2}}}-2}}{{\frac{5km}{{4-5{k^2}}}}}=-\frac{1}{k}$，化簡得10k²=8-9m，⑤
將⑤代入④解得$m＜-\frac{9}{2}$或m＞0，
又由⑤10k²=8-9m＞0，得$m＜\frac{8}{9}$，
綜上，實數m的取值范圍是$\{m|m＜-\frac{9}{2}$，或$0＜m＜\frac{8}{9}$}．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的求法，注意運用漸近線方程和三角形的面積公式，考查直線方程和雙曲線的方程聯立，運用韋達定理和判別式大于0，以及中點坐標公式，直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．