Question

若向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），已知函數f（x）=

m

•

n

（ω＞0）的周期為

π

2

（1）求ω的值、函數f（x）的單調遞增區間、函數f（x）的零點、函數f（x）的對稱軸方程；
（2）設△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，求此時函數f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sinωxcosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∵f（x）的周期為

π

2

，ω＞0，
∴

2π

2ω

=

π

2

，即ω=2，即f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

，
令-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到f（x）的單調遞增區間為：-

π

12

+

kπ

2

≤x≤

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
令4x-

π

6

=kπ，k∈Z，得f（x）的零點為：x=

kπ

4

+

π

24

，k∈Z；
令4x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得到f（x）的對稱軸方程為：x=

kπ

4

+

π

6

，k∈Z；
（2）由題意得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∵0＜x＜π，∴0＜x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤4x-

π

6

≤

7π

6

，即-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，
∴-1≤sin（4x-

π

6

）-

1

2

≤

1

2

，
則f（x）的值域為[-1，

1

2

]．