Question

【題目】如圖，在四棱柱中；

已知三個論斷：（1）四棱柱是直四棱柱；（2）底面是菱形；（3）．

以其中兩個論斷作條件，余下一個為結論，可以得到三個命題，其中有幾個是真命題？說明理由．

Answer 1

【答案】1個；理由見解析

【解析】

分別寫出三個命題然后逐一判斷．

解：以（1）、（2）作為條件，（3）為結論：即為直四棱柱，底面為菱形，則側棱底面．

∴在上底面上的射影為．又底面為菱形，∴．

由三垂線定理得，這一命題為真．

以（2）、（3）為條件，（1）為結論：為菱形，∴．

又，∴平面．∴．

但側棱未必垂直于底面．事實上，若側棱傾斜，但保持與垂直（這是可以做到的），則必符合條件（2）、（3），故此四棱柱不一定是直四棱柱．

若（1）、（3）為條件，（2）為結論：在底面上的射影為，又，由三垂線定理的逆定理得，即四邊形的對角線互相垂直，但這樣的四邊形未必是菱形．

由以上分析知，真命題只有1個，即（1）（2）（3）．