Question

【題目】如圖，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側棱CC1上，且不與點C重合．

（1）當CF=1時，求證：EF⊥A1C；
（2）設二面角C﹣AF﹣E的大小為θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1，由直棱柱的性質可知，底面ABC⊥側面A1C

∴EN⊥側面A1C

NF為EF在側面A1C內的射影

則由 ，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C

由三垂線定理可知EF⊥A1C

（2）解：連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME

由（1）可知EN⊥側面A1C，根據三垂線定理得EM⊥AF

∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ

設∠FAC=α則0°＜α≤45°，

在直角三角形CNE中，NE= ，在直角三角形AMN中，MN=3sinα

故tanθ= ，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

故當α=45°時，tanθ達到最小值，

tanθ= ，此時F與C1重合．

【解析】（1）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1 ， 根據面面垂直的性質可知NF為EF在側面A1C內的射影，根據 ，得NF∥AC1 ， 又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，由三垂線定理可得結論；（2）連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME根據三垂線定理得EM⊥AF，則∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ，在直角三角形CNE中，求出NE，在直角三角形AMN中，求出MN，故tanθ= ，根據α的范圍可求出最小值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．