Question

【題目】在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a+b+c=8．
（1）若a=2，b= ，求cosC的值；
（2）若sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且△ABC的面積S= sinC，求a和b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=2，b= ，且a+b+c=8，

∴c=8﹣（a+b）= ，

∴由余弦定理得：cosC= = =﹣ ；

（2）解：由sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC可得：sinA +sinB =2sinC，

整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，

∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，

∴sinA+sinB=3sinC，

利用正弦定理化簡得：a+b=3c，

∵a+b+c=8，

∴a+b=6①，

∵S= absinC= sinC，

∴ab=9②，

聯立①②解得：a=b=3．

【解析】（1）由a+b+c=8，根據a=2，b= 求出c的長，利用余弦定理表示出cosC，將三邊長代入求出cosC的值即可；（2）已知等式左邊利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，再利用正弦定理得到a+b=3c，與a+b+c=8聯立求出a+b的值，利用三角形的面積公式列出關系式，代入S= sinC求出ab的值，聯立即可求出a與b的值．