Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線，與， 各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合．

（1）分別說明， 是什么曲線，并求出與的值；

（2）設(shè)當(dāng)時(shí)， 與， 的交點(diǎn)分別為，當(dāng)， 與， 的交點(diǎn)分別為，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）有曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)），消去參數(shù)的是圓， 是橢圓，并利用．當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合，求出及．（2）利用的普通方程，當(dāng)時(shí)， 與的交點(diǎn)分別為，當(dāng)時(shí)， 與的交點(diǎn)為，利用面積公式求出面積．

試題解析：（1）是圓， 是橢圓．

當(dāng)時(shí)，射線與， 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別是因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2，所以

當(dāng)，射線與， 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別是因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合，所以；

（2）， 的普通方程為

當(dāng)時(shí)，射線與交點(diǎn)的橫縱表是，與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

當(dāng)時(shí)，射線與， 的兩個(gè)交點(diǎn)分別與交點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，因此四邊形為梯形，故四邊形的面積為．