Question

【題目】圖1是由正方形，直角梯形，三角形組成的一個平面圖形，其中，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.

（1）證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；

（2）求圖2中的二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）.

【解析】

（1）根據平行的傳遞性，可證明四點共面，要證明面面垂直，可轉化為證明線面垂直，即證明平面，轉化為證明，；

（2）過點作的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為，則，，由（1）可知點為中點，可以，，所在直線分別為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求兩個平面的法向量，求二面角的大小轉化為求解.

（1）證明：因為正方形中，，梯形中，，所以，

所以，，，四點共面：

因為，所以，因為，，所以平面，

因為平面，所以，

在直角梯形中，，，，可求得，

同理在直角梯形中，可求得，又因為，

則，由勾股定理逆定理可知，

因為，，所以平面，

因為平面，故平面平面，

即平面平面.

（2）解：過點作的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為，則，，

由（1）可知點為中點，且，則，

故可以，，所在直線分別為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則各點坐標依次為：，，，，，，

所以，，設為平面的一個法向量，則

可取，則，

又，設為平面的一個法向量，則

可取，則，

所以，

結合圖形可知二面角的大小為.