Question

【題目】已知函數f(x),g(x)=|xlnx﹣ax2|,a.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若g(x)在區間(1,e)有極小值,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) x∈(0,e)時, f(x)單調遞增;x∈(e,+∞)時,函數f(x)單調遞減. (2) a∈.

【解析】

(1)利用導數的符號可得單調性；

(2)根據(1) 可得:，結合a，可得g(x)=ax2﹣xlnx.a.x∈(1,e).通過兩次求導后，討論可得結果.

(1)函數f(x),x∈(0,+∞).

f′(x).

∴x∈(0,e)時,f′(x)>0,此時函數f(x)單調遞增;x∈(e,+∞)時,f′(x)<0,此時函數f(x)單調遞減.

(2)由(1)可得:.

g(x)=|xlnx﹣ax2|,a.x∈(1,e).

∴|a|=a,

∴g(x)=ax2﹣xlnx.a.x∈(1,e).

g′(x)=2ax﹣lnx﹣1=h(x),

h′(x)=2a.

①時,1e.此時x時,函數h(x)取得極小值,h()=lnln(2a)<0.

h(1)=2a﹣1<0,h(e)=2ae﹣2>0.

∴存在x0∈(,e),使得g′(x0)=2ax0﹣lnx0﹣1=0,

此時,函數g(x)在(1,x0)上單調遞減,在(x0,e)上單調遞增.

即此時g(x)在區間(1,e)有極小值,a的取值范圍為a∈.

②a時,01.h′(x)>0,函數h(x)在(1,e)上單調遞增,h(1)=2a﹣1≥0,

∴g′(x)>0,∴函數g(x)在(1,e)上單調遞增,無極值,舍去.