Question

已知曲線，過上一點作一斜率為的直線交曲線于另一點（且，點列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中.
（1）求與的關(guān)系式；
（2）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）若（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）先根據(jù)直線的斜率為，利用斜率公式與構(gòu)建等式，通過化簡得到與的關(guān)系式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將代入，通過化簡運算得出與之間的等量關(guān)系，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；（3）先求出數(shù)列的通項公式，進而求出數(shù)列的通項公式，將進行作差得到，對為正奇數(shù)和正偶數(shù)進行分類討論，結(jié)合參數(shù)分離法求出在相應(yīng)條件的取值范圍，最終再將各范圍取交集，從而確定非零整數(shù)的值.
試題解析：（1）由題意知，所以；
（2）由（1）知，
，
，故數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；
（3），，
，，
當(dāng)為正奇數(shù)時，則有，
由于數(shù)列對任意正奇數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值，所以；
當(dāng)為正偶數(shù)時，則有，
而數(shù)列對任意正偶數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值，所以，
綜上所述，，由于為非零整數(shù)，因此