Question

已知數(shù)列的首項(xiàng)其中，，令集合.
（1）若是數(shù)列中首次為1的項(xiàng)，請(qǐng)寫出所有這樣數(shù)列的前三項(xiàng)；
（2）求證：對(duì)恒有成立；
（3）求證：.

Answer 1

（1）9，3，1或2，3，1；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）從入手，反過(guò)來(lái)求.從條件可看出，首先分討論，然后分討論.
（2）首先由遞推公式將用表示出來(lái)，再與比較即可.
（3）注意.當(dāng)或2、3時(shí)，可求出前三項(xiàng)，前三項(xiàng)就是1、2、3三個(gè)數(shù)，結(jié)論成立.
那么當(dāng)時(shí)，結(jié)論是否成立？由遞推公式的結(jié)構(gòu)可以看出，當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)最終必將小于或等于3.現(xiàn)在的問題是如何來(lái)證明這一點(diǎn).注意（2）小題的結(jié)論，由可得，這說(shuō)明，“若，則”，這樣依次遞減下去，數(shù)列中的項(xiàng)最終必將小于或等于3.一旦小于等于3，則必有1、2、3，從而問題得證.
試題解析：（1）由題設(shè)知，數(shù)列各項(xiàng)均大于0.
當(dāng)時(shí)，.若，則；若，則.
所以前三項(xiàng)分別為9，3，1或2，3，1.
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.
綜上得，前三項(xiàng)分別為9，3，1或2，3，1.
（2）①當(dāng)被3除余1時(shí)，由已知可得,；
②當(dāng)被3除余2時(shí)，由已知可得,.
若仍為3的倍數(shù)，則；若不為3的倍數(shù)，則.
總之，都有；
③當(dāng)被3除余0時(shí)，由已知可得.
若都是3的倍數(shù)，則.
若是3的倍數(shù)，不是3的倍數(shù)，則.
若不是3的倍數(shù)，是3的倍數(shù)，則.
以上三種情況，都有；
綜合①②③，有.
（3）注意.若，則，.
若，則，.
若，則，.
以上三種情況都有（實(shí)際上）.
下面證明，當(dāng)時(shí)，數(shù)列中必存在某一項(xiàng).
由（2）可得，
所以，對(duì)于數(shù)列中的任意一項(xiàng)，“若，則”.由此可知，若仍然大于3，則，這樣依次遞減下去，最終必存在某一項(xiàng).
所以如果，則數(shù)列中必存在某一項(xiàng).
由前面的計(jì)算知，只要數(shù)列中存在小于等于3的項(xiàng)，則必有1、2、3三個(gè)數(shù)，
所以.