Question

如圖所示，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求這段時間的最大溫差；
（2）寫出這段曲線的函數解析式；
（3）如果一天24小時內的溫度均近似符合該函數關系式，求一天中溫度不小于25℃的時間有多長？

Answer 1

分析：（1）依題意，由圖可知這段時間的最大溫差為30°-10°=20°；
（2）由圖得A=10，

1

2

T=8，從而可求得ω，又該曲線過點P（10，20），可求得φ，于是可得這段曲線的函數解析式；
（3）由10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20≥25⇒16k-

14

3

≤x≤

2

3

+16k（k∈Z），又6≤x≤14⇒

34

3

≤x≤14，于是可得答案．

解答：解：（1）由圖知，這段時間的最大溫差為30°-10°=20°；
（2）∵b=

30+10

2

=20，A=

30-10

2

=10，又

1

2

T=14-6=8，
∴T=16=

2π

ω

，
∴ω=

π

8

，
∴這段曲線的函數解析式為y=10sin（

π

8

x+φ）+20，
又該曲線過點P（10，20），
∴

π

8

×10+φ=2kπ（k∈Z），
∴φ=2kπ-

5π

4

（k∈Z），不妨令k=1，得φ=

3π

4

，
∴這段曲線的函數解析式為y=10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20（6≤x≤14）；
（3）由10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20≥25得：sin（

π

8

x+

3π

4

）≥

1

2

，
∴

π

6

+2kπ≤

π

8

x+

3π

4

≤

5π

6

+2kπ（k∈Z），
∴16k-

14

3

≤x≤

2

3

+16k（k∈Z），又6≤x≤14，
∴16-

14

3

≤x≤14，即

34

3

≤x≤14．
∴一天中溫度不小于25℃的時間有14-

34

3

=

8

3

小時．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查實際應用問題，求得這段曲線的函數解析式是關鍵，也是難點，屬于難題．