Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個邊長為2的正三角形，，為的中點，為的中點.

（1）證明：平面.

（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當時，直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】

（1）設為的中點，連接，，證明OE為三角形BPF的中位線，得即可證明（2）證明平面，由，過分別作，的平行線，分別以它們作為軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求平面的法向量，假設線段上存在一點，設，得，由直線與平面所成角的正弦值為列的方程求解即可

（1）證明：設為的中點，連接，，則.

∵，，，

∴四邊形為正方形.

∵為的中點，∴為，的交點，

∴為的中點，即OE為三角形BPF的中位線

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵，為的中點，

∴.∵，∴，

∴，.

在中，，∴.

又∵，∴平面.

又因為，所以過分別作，的平行線，分別以它們作為軸，

以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，.

假設線段上存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為.

設，則，

即.

設平面的一個法向量為，則，即.

取，得平面的一個法向量為.

設直線與平面所成角為，令，

得，

化簡并整理得，解得（舍去），或.

所以，當時，直線與平面所成角的正弦值為.