Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）.

（Ⅰ）若，求直線被曲線截得的線段的長度；

（Ⅱ）若，在曲線上求一點，使得點到直線的距離最小，并求出最小距離.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）由題意，得曲線的普通方程和直線的普通方程，聯立方程組，解焦點，即可求解截曲線的線段長；

（Ⅱ）解法一：時，得直線的普通方程，由點到直線的距離公式，得到距離的表達式，轉化為三角函數的性質，即可求解最小值.

試題解析：

（Ⅰ）曲線的普通方程為.

當時，直線的普通方程為.

由.解得或，

直線被曲線截得的線段的長度為.

（Ⅱ）解法一：時，直線的普通方程為.

由點到直線的距離公式，橢圓上的點到直線：的距離為

，

其中滿足，.

由三角函數性質知，當時，取最小值.

此時，，.

因此，當點位于時，點到的距離取最小值.

解法二：當時，直線的普通方程為.

設與平行，且與橢圓相切的直線的方程為.

由消去并整理得.

由判別式，解得.

所以，直線的方程為，或.

要使兩平行直線與間的距離最小，則直線的方程為.

這時，與間的距離 .

此時點的坐標為方程組的解.

因此，當點位于時，點到直線的距離取最小值.