Question

【題目】已知函數，其中．

（1）當時，在處取得極值，求函數的單調區間；

（2）若時，函數有兩個不同的零點，

①求的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）減區間為，增區間為．（Ⅱ）①②詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由極值定義可得，從而可解得．再根據導函數零點討論導函數符號，結合導函數符號可得函數單調區間，（Ⅱ）①先利用導數分析函數單調性，即函數為非單調函數，導函數必有零點，再根據函數單調變化規律得函數最大值必大于零，又端點函數值趨于負無窮，根據零點存在定理可得函數必有兩個零點，最后解最大值大于零時的取值范圍,②等價于,由零點條件得，，兩式相加與相減再相除消去得,因此轉化為證明,即需證明,令,構造函數,再利用導數研究函數單調性,得,即可得到結論.

試題解析：（Ⅰ）解：由已知得，

所以，所以．

所以．

則，

由得，由得．/span>

所以的減區間為，增區間為．

（Ⅱ）①解：由已知．

所以，

當時，顯然恒成立，此時函數在定義域內遞增，至多有一個零點，不合題意．當時，令得，

令得；

令得．

所以極大值為，解得．

且時，，時，．

所以當時，有兩個零點．

②證明：，為函數的兩個零點，不妨設．

所以，，

兩式相減得，兩式相加得．

要證，即證，

即證，即證．

令，即證．

令，則，

所以，即，

所以，所以．