Question

【題目】定義在上的函數滿足對任意，，恒有，且不恒為0．

（1）求和的值；

（2）試判斷的奇偶性，并加以證明；

（3）若，恒有，求滿足不等式的的取值集合．

Answer 1

【答案】(1) ,;(2)詳見解析;(3) .

【解析】試題分析：本題為抽象函數問題，解決抽象函數的基本方法有兩種：一是賦值法，二是“打回原型”，賦值法是最常用的解題方法，巧妙的賦值可求出函數的特值，本題的第一步就是賦值法，發也可以判斷分別給x,y賦值1和就可求出所求函數值，給y賦值可判斷函數的奇偶性，利用可以證明函數的單調性，借助函數的奇偶性和單調性以及特殊點特殊值可以模擬出函數的圖象，在此基礎上可以解不等式.

試題解析：

（1）令，得，∴，

令，得，∴．

（2）令，由可得，

∵，∴，

又不恒為0，∴是偶函數．

（3）若時，恒有 ，此時為增函數，

由，得，

由（2）知，，∴，

又∵在上為增函數，∴，

∴．

∴的取值集合是．