Question

【題目】已知函數f(x)=x2﹣alnx，a>0.

（1）若f(x)在x=1處取得極值，求實數a的值；

（2）求f(x)在區間[2，+∞)上的最小值；

（3）在（1）的條件下，若g(x)=x2﹣f(x)，求證:當1<x<e2，恒有x.

Answer 1

【答案】（1）2（2）當0<a≤8時，最小值為4﹣2ln2；當a>8時，最小值為（3）證明見解析

【解析】

（1）利用列方程，由此求得的可能取值，驗證后求得的值.

（2）求得的定義域和導函數，根據兩種情況進行分類討論，結合函數的單調區間，求得在區間上的最小值.

（3）求得，判斷出，將要證明的不等式轉化為，構造函數，利用導數證得，由此證得不等式成立.

（1）由f(x)=x2﹣alnx知，函數的定義域為(0，+∞)，，∵函數f(x)在x=1處取得極值，∴f′(1)=0，即2﹣a=0，解得a=2，經檢驗，滿足題意，故a=2；

（2）由（1）得，定義域為(0，+∞)，當0<a≤8時，由f′(x)=0得，且，當時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，∴f(x)在區間[2，+∞)上單調遞增，最小值為f(2)=4﹣2ln2，當a>8時，，當時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，∴函數f(x)在處取得最小值，綜上，當0<a≤8時，f(x)在區間[2，+∞)上的最小值為4﹣2ln2；當a>8時，f(x)在區間[2，+∞)上的最小值為；

（3）由g(x)=x2﹣f(x)得g(x)=2lnx，當1<x<e2時，0<lnx<2，0<g(x)<4，欲證，只需證x[4﹣g(x)]<4+g(x)，即證，即，設，則，當1<x<e2時，φ′(x)>0，所以φ(x)在區間(1，e2)上單調遞增，∴φ(x)>φ(1)=0，即，∴，由此得證.