Question

已知兩點，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為.
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.

Answer 1

（Ⅰ）（）；（Ⅱ） .

試題分析：（Ⅰ）設點 的坐標為 則, ,化簡可得軌跡方程.
（Ⅱ）設出直線PE、PF的點斜式方程,分別求出它們與圓（）相切條件下與曲線C的另一交個交點Q、R.的坐標,寫出直線的方程,點到直線的距離公式可求的底邊上的高.進而得出面積的表達式,再探索用基本不等式求該式最值的方法.
試題解析：（Ⅰ）設點，       2分
整理得點M所在的曲線C的方程：（）        3分

（Ⅱ）由題意可得點P（）             4分
因為圓的圓心為（1，0），
所以直線PE與直線PF的斜率互為相反數           5分
設直線PE的方程為，
與橢圓方程聯立消去，得：
，         6分
由于1是方程的一個解，
所以方程的另一解為            7分
同理                        8分
故直線RQ的斜率為
=    9分
把直線RQ的方程代入橢圓方程，消去整理得
所以       10分
原點O到直線RQ的距離為              11分
   12分