Question

已知橢圓：的離心率為且與雙曲線：有共同焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線，求與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設橢圓的左、右頂點分別為，過橢圓上的一點作軸的垂線交軸于點，若點滿足，，連結交于點，求證：.

Answer 1

（1）；（2）2；（3）證明詳見解析.

試題分析：（1）有離心率，求得 (s)，由公共焦點得即 (t),解由（s）（t）組成的方程組即可.
（2）設直線的方程為：，代入橢圓方程中，消去y，得到關于x的一元二次方程，其判別式等于零，可得,在求出直線l與坐標軸的交點，寫出圍成的三角形的面積，再把代入，即可最的最小值.
（3），設，，求出的坐標，由向量平行的充要條件可得，在求出直線AC的方程，整理得，然后求出P點坐標即可.
試題解析：（1）由可得：即
①         2分
又即②聯立①②解得：
橢圓的方程為：        3分
（2）與橢圓相切于第一象限內的一點，直線的斜率必存在且為負
設直線的方程為：
聯立消去整理可得：
③，      4分
根據題意可得方程③只有一實根，
整理可得：④      6分
直線與兩坐標軸的交點分別為且      7分
與坐標軸圍成的三角形的面積⑤，      8分
④代入⑤可得：（當且僅當時取等號）    9分
（3）由（1）得，設，
，可設，
由可得：即    11分
直線的方程為：整理得：
點在上，令代入直線的方程可得：，    13分
即點的坐標為為的中點    14分，設，，求出的坐標，由向量平行的充要條件可得，在求出直線AC的方程，整理得，然后求出P點坐標即可.