Question

【題目】已知函數f（x）=（ax﹣1）e2x+x+1（其中e為自然對數的e底數）．
（1）若a=0，求函數f（x）的單調區間；
（2）對x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0時，f（x）=﹣e2x+x+1，f′（x）=﹣2e2x+1，

由f′（x）=0，解得x=﹣ ，

當x∈（﹣∞，﹣ ）時，f′（x）＞0，當x∈（﹣ ，+∞）時，f′（x）＜0，

∴函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣ ），單調減區間為（﹣ ，+∞）．

（2）解：f′（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，令g（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，

則g′（x）=4（ax﹣1+a）e2x，

①若a≥1，當x∈（0，+∞），g′（x）＞0，從而g（x）在（0，+∞）上單調遞增且g（0）=a﹣1≥0，

∴x∈（0，+∞）時，g（x）＞0即f′（x）＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調遞增且f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0恒成立，符合題意．

②若a≤0，則x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0恒成立，

∴g（x）在（0，+∞）單調遞減，則g（x）＜g（0）=a﹣1，

即x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，

∴函數f（x）在（0，+∞）單調遞減，此時f（x）＜f（0）=0，不符合題意．

③若0＜a＜1，由g′（x）=4（ax﹣1+a）e2x=0，得x= ，且x∈（0， ），g′（x）＜0，

∴函數y=g（x）在（0， ）單調遞減．

∴x∈（0， ）時，g（x）＜g（0）=a﹣1＜0，即x 時，f′（x）＜0，

∴函數y=f（x）在（0， ）單調遞減，

∴x∈（0， ）時，f（x）＜f（0）=0，不符合題意．

綜上所述，實數a的取值范圍是[1，+∞）．

【解析】（1）a=0時，f′（x）=﹣2e2x+1，由此利用導數性質能求出函數f（x）的單調區間．（2）f′（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，令g（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，則g′（x）=4（ax﹣1+a）e2x，由此利用分類討論思想，結合導數應用能求出實數a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．