Question

【題目】如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求證：BD⊥平面ADG；
（2）求此多面體的全面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°，

∴由余弦定理可得BD= ，

則AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD．

在直平行六面體中，GD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴GD⊥BD，

又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG；

（2）解：由已知可得，AG∥EF，AE∥GF，

∴四邊形AEFG為平行四邊形，

GD=AD=1，∴EF=AG= ．

EB=AB=2，∴GF=AE=2 ．

過G作GH∥DC交CF于H，得FH=2，∴FC=3．

過G作GM∥DB交BE于M，得GM=DB= ，ME=1，∴GE=2．

cos∠GAE= ，∴sin∠GAE= ．

．

該幾何體的全面積S= ．

【解析】（1）在△BAD中，由余弦定理求得BD= ，可得AB2=AD2+BD2，得AD⊥BD．再由已知可得CD⊥BD，由線面垂直的判定可得BD⊥平面ADG；（2）由已知可得，AG∥EF，AE∥GF，得四邊形AEFG為平行四邊形，然后求出各面面積得答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想)．