Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C是橢圓上不同的三點(diǎn)， ，C在第三象限，線段BC的中點(diǎn)在直線OA上。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）設(shè)動點(diǎn)P在橢圓上（異于點(diǎn)A、B、C）且直線PB， PC分別交直線OA于M、N兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）為定值，定值為．

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入方程即可求得，（2）設(shè)點(diǎn)，得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，帶去直線OA聯(lián)立橢圓方程即可求得m,n,從而得C的坐標(biāo)，（3）分別設(shè)出P,N,M三點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P,B,M三點(diǎn)共線和P,C,N三點(diǎn)共線得到M，N,P的關(guān)系，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可得各系數(shù)之間的關(guān)系，于是化簡得定制

試題解析：

解：（1）由已知，得 解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)點(diǎn) ，則中點(diǎn)為．

由已知，求得直線的方程為，從而．①

又∵點(diǎn)在橢圓上，∴．②

由①②，解得（舍），，從而． 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（3）設(shè)， ， ．

∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．

∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．

∵點(diǎn)在橢圓上，∴， ．

從而．

所以．∴為定值，定值為．