Question

【題目】已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y﹣4=0相交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m；
（3）在（2）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴方程表示圓時，m＜5
（2）解：設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，得x1x2=16﹣8（y1+y2）+4y1y2，

∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0①，

由 ，得5y2﹣16y+m+8=0，

∴ ， ．

代入①得 ．

（3）解：以MN為直徑的圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，

即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0，

∴所求圓的方程為

【解析】（1）圓的方程化為標準方程，利用半徑大于0，可得m的取值范圍；（2）直線方程與圓方程聯立，利用韋達定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值；（3）寫出以MN為直徑的圓的方程，代入條件可得結論．