Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側面ABB1A1為菱形，D為AB的中點，為等腰三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C.

（1）證明：CD⊥平面ABB1A1 ；

（2）求CD與平面A1BC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)推導出CD⊥AB,連結B1D,設AB=2a,推導出CD⊥B1D,由此能證明CD⊥平面ABB1A1；(2)以D為坐標原點，建立空間直角坐標系,利用向量法能求出CD與平面所成角的正弦值.

證明：因為D為AB的中點，，所以．
連接，設，因為四邊形為菱形，D為AB的中點，，
所以，
又為等腰直角三角形，，所以，

所以，則D.

因為，所以平面

（2）以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則0，，，，0，，

所以，，

設平面的法向量為y，，則，

即，令，得．

設CD與平面所成角為，因為，

所以

所以，

即CD與平面所成角的正弦值為．